2014 yılında Nottingham Üniversitesi'nde çalışan iki akademisyen olan Tony Padilla ve Ed Copeland, Numberphile adlı YouTube kanalından paylaştıkları inanılmaz hesaplama tekniği ile 1'den sonsuza kadar olan sayıların toplamının "-1/12"ye eşit olduğunu iddia ettikleri ve bunu matematiksel "trick"ler ile ispat ettikleri bir video yayınladılar. Dilerseniz bu videoyu izleyebilir, dilerseniz de hemen aşağıda yapmaya çalıştığım özetten bu hesaplamayı görebilirsiniz.

Özetle şunu söylüyorlar:

S1=1-1+1-1+1-1+1-....

S1 yukarıdaki gibi sonsuza kadar süren bir dizi olsun. Bu S1 değeri "1/2"ye eşittir. Bunu da "Bu diziyi neresinden keserseniz ya "1" ya da "0" sonucuna ulaşırsınız. O zaman bu toplam bunların ortalamasıdır." şeklinde ifade ediyorlar. Ben ise şöyle gösterdim:

 

 

Daha sonra da diyorlar ki:

S2=1-2+3-4+5-6+7-....

S2 de yukarıdaki gibi bir dizi olsun. S2 de "1/4"e eşittir:

 

 

Bundan sonra da ekliyorlar:

S3=1+2+3+4+5+6+7+....

S3 de aradığımız 1'den sonsuza kadar olan sayıların toplamı olsun. S3'den S2'yi çıkartırsak şu sonuçla karşılaşıyoruz:

 

 

Bu iki fizikçinin ortaya koyduğu bu ispat ile bir çok kişi sonsuzluğu kavrayamadıklarını; bu sebeple böyle bir toplamın, hele bir de bu şekilde matematiksel olarak ortaya konmuşken, mümkün olabileceğini düşündü. Belki siz değerli okuyucularımız da bu videoyu daha evvel seyrettiniz ve matematiğin bu gizemli yüzü ile biraz şaşırdınız.

Şaşırmakta çok haklısınız çünkü anlaşılan o ki, günümüzde fizikçiler bu hesaplamaya atıfta bulunarak teori geliştirirken, matematikçiler de fiziksel bir kanıtı olduğu iddiası ile bu hesaplamaya inanıyorlar. Bunun sebebi yeterince araştırmamaları ya da iyi bir sipagetti okuyucusu olmamaları olabilir.

Bu videoyu paylaşan fizikçilerin iddiası şu: Bu matematiksel fenomenin, fiziksel bir de karşılığı var(mış). Hollandalı fizikçi Hendrick Casimir'in 1948 yılında yaptığı 2 paralel yüksüz plaka arasındaki elektromanyetik alanın kuantum boşluktaki dalgalanmalardan mütevellit çekim kuvveti hesaplamalarında, 1+2+3+4+... değerini -1/12 olarak gözlemlemiş.

Gerçek şu ki böyle bir gözlem hiç yapılmadı ve de yapılamaz. Bu noktada biraz Casimir Etkisi'nin ne olduğundan bahsedelim:

Boşlukta engellenemeyecek farklı dalgaboylarında elektromanyetik dalgalar mevcuttur. Tıpkı deniz yüzeyinde sürekli büyüklü küçüklü dalgaların oluşuyor olması gibi. Bu sebeple boşlukta her zaman belirli bir miktarda enerji vardır. Eğer iki plaka birbirlerine paralel olarak yerleştirilirse bunların aralarında da etraflarında da farklı dalgaboylarında dalgalar yer alacaktır. Bu noktada eğer bu iki plakayı birbirlerine yeterince yaklaştırır ve belirli dalgaboyundaki dalgaların girmesine engel olabilirsek bu iki plaka arasındaki toplam enerji, boşluktaki enerjiden daha az olacaktır; zira girmesine engel olduğumuz dalgaboyundaki dalga bu iki plaka arasına girerek plakalara içeriden çarpamayacaktır. Bu durumda da bu iki plaka birbirlerine doğru itilecektir. Yapılan hesaplamalar göstermiştir ki, bu boşluk yeterince küçültülebilirse (zero point energy) elde edilecek enerji sonsuzdur. Bu değer hesaplanamayacağından ve formülize edilemeyeceğinden, Casimir bu problemin üstesinden gelebilmek için iki farklı plaka aralığı için ölçüm yapıp farklarını alarak sonsuz ile uğraşmaktan kurtulmuştur. (Mesela 5+6+7+8+.... ile 4+5+6+7+8+... arasındaki fark 4'tür!! gibi)

İşin aslı şu ki Casimir'in hesaplamalarında ve sonrasında onun çalışmalarını yeniden yorumlayan diğer fizikçilerin yaptıkları kabullerde temel bir hata mevcut. Iraksak (divergent) olan bir toplamdan ıraksak olan bir toplamı çıkarttığımızda elde ettiğimiz sonuç tanımsızdır. (Ortaokul Matematik: Sonsuz-Sonsuz=Tanımsız).

Matematiksel olarak ispatlandığı söylenen toplama bir de şöyle bakalım:

Diyelim ki:

S=1+10+100+1000+10000+.... olsun;

10S=10+100+1000+10000+100000+.... olacaktır.

10S'den S'yi çıkartalım:

 

Bu sonuç da az evvel diğer hesaplamalarda yapılan kadar yanlıştır. Fiziksel olarak 1 elma, 10 elma, 100 elma, 1000 elma...yı topladığımızda "-1/9" elma elde edeceğimizi düşünmek hiç de anlaşılabilir bir yaklaşım değildir. Pozitif sayıların toplamlarının negatif bir değer veremeyeceği çok açıktır. Yukarıda paylaştığımız videonun sonlarında da Tony ve Ed de bunu açıklayamadıklarını itiraf ediyorlar.

Casimir'e geri dönecek olursak, her ne kadar bu toplamın "-1/12" olarak kabul edildiği durumda hesaplamalar ile elde edilen değerler ile deneysel sonuçlar arasında bir örtüşme var ise de, yalnızca yakınsak bir sonucun ölçülebildiği bir düzenek ile bu değerin doğrulanmasının mantık dışı bir yaklaşım olduğu aşikar. Uzay-zamanın sonsuz miktarda büküldüğü bir deneyi gerçekleştiremiyor ve gözlemleyemiyor olmamız Einstein'ın yerçekimi teorisi ile açıkça ortaya koyuluyor.

Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz ki yazının başlığında yazılmış olan denklem yanlıştır! Doğrusu herkesin gönül rahatlığı ile söyleyebileceği şekilde şöyle olmalıdır:

1+2+3+4+.... = ∞

Casimir etkisi sonucu ne kadar çekim kuvveti oluştuğunu simüle etmek isterseniz aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz (plakalar arasındaki mesafe en az 0.5 mikrona kadar düşürülebiliyor). Kuvveti daha rahat tasavvur edebilmeniz için şu bilgi de işinize yarayacaktır: 100000 dyne = 1 Newton)

http://demonstrations.wolfram.com/TheCasimirEffect/